The forward problem for the electromagnetic Helmholtz equation

Abstract

[EN]We consider the Helmholtz equation in Rd, d 3, with electric and magnetic potentials. The aim of this thesis is to study the direct problem of such an equation for potentials that decay at in nity, but also have singularities at the origin. We use integration by parts to achieve this. A main tool is a multiplier method in spirit of the so called Morawetz estimate. We prove that there exists a unique solution of this equation such that satis es some a-priori estimates together with some Sommerfeld radiation condition. We then deduce some extra information about the behavior of the solution for di erent classes of electric and magnetic potentials, which allows us to derive some applications related to the spectral properties for the magnetic Schr odinger operator.

[ES]El objetivo principal de esta tesis es estudiar el problema directo de la ecuación de Helmholtz con potenciales eléctrico y magnético. Consideramos potenciales que permiten singularidades en el origen y con un cierto decaimiento en el infinito. Para ello utilizamos la integración por partes y el método del multiplicador basándonos en los introducidos por Morawetz. Para distintos tipos de potenciales, probamos que existe una única solución de la ecuación de Helmholtz electromagnética tal que satisface una cierta condición de radiación de Sommerfeld y algunas estimaciones a-priori. Esto nos permite dar información extra sobre el comportamiento de la solución en el infinito, concluyendo algunas propiedades del espectro del operador de Schrödinger magnético