Kontradibideak topologian

Abstract

[EUS] Topologia objektu matematikoen propietate kualitatiboen azterketan oinarritzen den zientzia da. Multzoen topologian sakonduko dugu oraingoan. Arlo honetan interesgarria izan ohi da propietate zehatz batzuk betetzen dituen espazioa eraikitzea. Funtsean, gure buruari propietate zehatz hauek betetzen dituen espazioaren existentziaren inguruan galdetzen diogu. Adibidez, existitzen al da espazioren bat non multzo itxi disjuntuei irudi desberdinak ematen dien funtzio jarraitua definitu daitekeen? Propietate hau betetzen duen espazioa topatzen badugu, gure intuizioak aurresan duenaren adibidea topatu dugu. Propietate hau betetzen duen espaziorik ez bada existitzen, teorema bat plazaratzeko aukera dugu. Kontradibideen kasuan ordea, kontrakoa gertatzen da; askotan proposizio baten egokitasuna susmatuko dugu, honen adibide ugari topatu baititugu, besteak beste. Baina, halako batean, eskuartean dugun espazioak hipotesia bete arren, proposizioaren ondorioa ez duela betetzen ohartzen gara. Hau da, gure arrazonamenduaren kontradibidea topatu dugu. Honela, proposizioak sinesgarritasuna galdu eta lanaren norabidea moldatzera eramango gaitu. Kontradibideak aurkitu edo eraikitzeak, beraz, esku artean dugun eduki matematikoa askoz hobeto ulertzen, barneratzen eta bideratzen lagunduko digu. Horregatik, kontradibideak funtsezkoak dira matematikan. Esan bezala, multzoen topologian sakonduko dugu, banantze-axiometan hain zuzen. Hitz gutxitan, espazio topologikoak sailkatzen dituzten propietateak dira. Espazio ezberdinak definitzeaz gain, hauen inguruko azterketa sakona egingo dugu. Hasteko, espazio bakoitzaren karakterizazioak erreparatuko ditugu eta propietate hauen heredagarritasun eta biderkagarritasunari arreta berezia jarri. Betiere espazioen biderkadura finituetan egingo dugu lan. Bestetik, espazioen arteko loturak ere frogatuko ditugu, honela, inplikazio katea eraikiz. Prozesu honetan, atzerako inplikazioetan erreparatuko dugu eta kontradibide baten bitartez, hauen faltsukeria frogatu. Halaber, espazio hauen biderkagarritasuna aztertzeak kontradibideak eraikitzeko metodoetan sakontzen lagunduko digu, eranskineko A.2. atalean. Era honetan, espazio hauen izaera guztiz finkatuko dugu. Lanaren euskarria banantze-axiomak izango dira. Lehen kapituluan hauen inguruko xehetasunak aztertu ondoren, hurrengo kapituluetan trinkotasunean eta metrizagarritasunean murgilduko gara. Trinkotasunean murgiltzerakoan, trinkotasun lokala eta paratrinkotasuna dira tentuz aztertuko ditugun gaiak. Espazio hauen inguruan ikasi ondoren, banantze-axiomen arteko inplikazio katera bueltatuko gara. Helburua, trinkotasunak banantze-axiomen arteko inplikazioetan ``zubiak'' eraikitzeko gaitasuna aztertzea da. Hau da, hasieran betetzen ez ziren atzerako inplikazio horiek, egoera berezi batzuetan bete egiten direla frogatuko dugu. Eraikitako inplikazio berri hauetan ere, atzerako inplikazioei egingo diegu so, eta baldintza gehigarri hauek baldintza beharrezkoa diren aztertuko dugu eta honela ez bada, kontradibide baten bitartez frogatuko dugu. Lanari amaiera emateko, metrizagarritasunean arituko gara. Batetik, metrizagarriak diren espazioetan banantze-axiomek eta trinkotasunak nolako portaera duten aztertuko dugu. Bestetik, lanean garatutako kontzeptu berriekin erlazionatuta dauden metrizagarritasun teorema batzuk plazaratuko ditugu. Atal honetan ez dira banantze-axiomen eta metrizagarritasunaren arteko erlazioak finkatzen dituzten kontradibideak garatuko. Izan ere, ikusiko dugun moduan, metrizagarriak diren espazioetan landuko ditugun banantze-axioma guztiak betetzen dira. Aipatzekoa da ere, eranskin atalean interesgarriak diren beste zenbait gaietan sakontzen dela. Batetik, ohiko R espazio euklidearrak banantze-axiomekiko duen portaera aztertzen da. Izan ere, espazio hau ezagutzeak, gainontzeko espazioetan betetzen diren propietateak frogatzen lagunduko digu. Bestetik, lehen aipatu bezala, kontradibideak eraikitzeko teknika ezberdinak lantzen dira. Gainera, lanean zehar beharrezkoak diren zenbait kontzeptu ere lantzen dira, zegokien tokian haria galtzeko arriskua zegoenez hor kokatuta daude. Hala nola, beste zenbait banantze-axioma landuko ditugu eta hasierako inplikazio katean txertatu. Axioma hauen garrantzia inplikazio katean txertatzerakoan aztertuko ditugun kontradibideen berezitasunean datza. Beraz, kontradibideak dira gaurkoan landuko ditugun ariketak, arestian aipatu dugun moduan, ariketa beharrezkoak matematikaren ezagutzan aurrera egiteko. Lan honen motibazioa, kontradibideek, topologian bereziki duten garrantziaz jabetzea da. Kontzeptu berriak garatzen goazen heinean, kontradibideak kontzeptu hauen arteko erlazioak finkatzeko oso lagungarriak izango dira.