Matrices no negativas y cadenas de Markov

Abstract

[ES] La teoría de los procesos estocásticos se creó principalmente para satisfacer las necesidades de los físicos. Comenzó con el estudio de los fenómenos físicos como fenómenos aleatorios que cambiaban con el tiempo. Hoy en día la teoría de los procesos estocásticos se utiliza en un amplio abanico de ámbitos como la biología y la física (evolución de enfermedades, modelos climatológicos, comportamiento de partículas...), la economía (inversión en Bolsa, evaluación de riesgos...), etc. En este trabajo, hablaremos sobre un proceso estocástico en particular, llamado cadena de Markov. Las cadenas de Markov permiten predecir el comportamiento a corto y a largo plazo de sistemas que pueden cambiar de estado en cada instante de tiempo y que cumplen la propiedad de Markov, es decir, que el futuro del sistema, a partir de un presente conocido, es independiente del pasado. Las cadenas de Markov deben su nombre al matemático Andréi Márkov. Andréi Márkov (1856-1922) fue un matemático ruso conocido por sus trabajos en la teoría de números y la teoría de la probabilidad. Cursó sus estudios universitarios de matemáticas entre 1874 y 1878, siendo premiado con una medalla de oro al finalizarlos. Realizó su carrera académica en la Universidad de San Petesburgo. Aunque su tesis doctoral trataba sobre la teoría de números, con la retirada de Chebyshev en 1883, Márkov pasó a encargarse del curso de teoría de la probabilidad que había impartido hasta entonces Chebyshev. Aunque fueron muchas las aportaciones de Márkov en las matemáticas, quizás la más conocida sea su trabajo en el campo de los procesos estocásticos. En concreto, las cadenas de Markov. La teoría de las matrices no negativas también tiene muchas aplicaciones en ámbitos variados como la economía, la física, la probabilidad, etc. En particular es de gran utilidad en la investigación de las cadenas de Markov. Muchos de los resultados sobre cadenas de Markov se pueden obtener a través de propiedades de las matrices no negativas. En 1907 Perron descubrió algunas propiedades significativas de las matrices cuadradas positivas. Más adelante Frobenius amplió los resultados de Perron a las matrices no negativas. Desde entonces la teoría de las matrices no negativas ha sido una de las áreas más activas del álgebra lineal. En este trabajo se tratan estos dos temas: las matrices no negativas (en particular irreducibles y estocásticas) y las cadenas de Markov. En primer lugar se habla sobre las matrices, ya que muchos de los resultados que se han conseguido en esta parte han servido después para desarrollar la teoría de las cadenas de Markov. Después de finalizar tanto con la teoría sobre matrices no negativas como con la teoría de las cadenas de Markov, se expone una aplicación de las cadenas de Markov: PageRank, que es la herramienta que utiliza el buscador Google para clasificar las páginas web. Uno de los objetivos de este trabajo es ampliar los conocimientos que se han adquirido en varias asignaturas del Grado en Matemáticas como probabilidad y procesos estocásticos y ampliación de métodos numéricos. En el Capítulo 1 se define el concepto de matriz irreducible y a tráves de una serie de resultados que se demuestran a lo largo del capítulo, se consigue una relación entre el grafo dirigido asociado a una matriz y la irreducibilidad de dicha matriz. Además, se definen los conceptos vector y valor propio de una matriz y se demuestra el teorema de Perron-Frobenius para matrices irreducibles; resultado que será útil en el capítulo que trata sobre las cadenas de Markov. Para concluir este capítulo, se define el concepto de matriz estocástica y se demuestra que el radio espectral de cualquier matriz estocástica es uno. Para desarrollar este capítulo se han utilizado [7], [8], [6] y [2]. En el Capítulo 2 se da la definición de una cadena de Markov y de algunos conceptos básicos como el espacio de estados y la matriz de transición de una cadena de Markov. El objetivo principal de este capítulo es estudiar el comportamiento de una cadena a largo plazo. Para escribir el capítulo se han utilizado [1], [11], [4] y [5]. Finalmente, en el Capítulo 3, se proporciona una aplicación de las cadenas de Markov: PageRank. La información de este capítulo se ha obtenido de [10], [9] y [3].