Hiru aldiz erratu eta zuzen bukatzearen magia

Abstract

Dimentsio bakarrean soka baten zeharkako bibrazioak deskribatzen dituen deribatu partzialetan emandako uhin-ekuazioa aztertu dugu. Soka muturretan tinko dagoela suposatu dugu eta hasierako posizioa eta abiadura ezagunak direla. Soka osatzen duten puntu guztien kokapena edozein aldiunetan jakitea da helburua. Aldagai-banaketa metodoa erabiliz Fourierren serie gisako soluzioaren adierazpen analitikoa lortzen da. Zehaztasuna da soluzio analitikoaren abantailetako bat, hala ere, soluzioa serie gisa (infinitu batugai) emanda egoteak emaitza formalki zehatz adierazten du baina, praktikan, esplizituki kalkulatu behar denean, kontuan hartu ez diren batugaiek eraginda errore bat egiten da. Emaitza analitiko zehatzak erakusten duen desabantailagatik, batugai guztiak hartzea posible egingo duen hurbilpenetara jo dugu. Lehenengo hurbilpenean, deribatu partzialetako ekuazioa dimentsio finituko bektore-espazio bateko funtzioez biderkatu eta sistema algebraiko batera iritsi gara. Bigarren hurbilpena sistema algebraikoan atera diren matrizeak diagonalizatzea izan da, errenkada bakoitzeko elementuak batu eta batura hori kokapen diagonalean jarriz. Hirugarren hurbilpena zenbakizko metodoez baliatuz ekuazio diferentzialaren emaitza pausoz pauso eraikitzea izan da. Honela, lortu da analitikoki infinitu batugairen bidez emandako sokako uhinaren mugimendu zehatza, kopuru finituan ditugun nodoen mugimendua deskribatzen duten batugai kopuru finitu baten bidez deskribatzea. Fenomeno honi superkonbergentzia deritzo.