The Mutually Unbiased Bases problem via the Bloch representation

Abstract

[EN] During the last decades, the term “Second Quantum Revolution” has been widely used among authors to refer to the emerging quantum science and technology, such as quantum computation, quantum metrology or Quantum Information Theory. Quantum Information Theory sets to studying the new ways of transmitting and processing information using Quantum Mechanics, and it has already found applications in describing entanglement in many-body physics. Nonetheless, it is far from complete and still poses open problems of diverse mathematical connections, and one of them, which has applications in quantum cryptography and quantum state tomography, is the Mutually Unbiased Bases problem. The Mutually Unbiased bases problems is concerned with the amount of mutually unbiased bases (MUBs) that exist in a given Hilbert space. In this Bachelor’s thesis we will present some of the known results, namely, generating all the MUBs when the dimension d of the Hilbert space is prime. For this purpose, we will use a different mathematical formalism than usual, the Bloch representation, which allows for a more geometrical picture of the problem. We will first introduce the Bloch representation by discussing the case d=2, and we will follow by presenting some of the most interesting geometrical structures that arise for any dimension. Finally, we will show a construction of all MUBs when the dimension is an odd prime. The thesis will contain plenty of examples in order to tone down the mathematical derivations.

[ES] Durante las últimas décadas, el término "Segunda Revolución Cuántica" ha sido ampliamente utilizado entre los autores para referirse a la ciencia y tecnología cuántica emergente, como la computación cuántica, la metrología cuántica o la Teoría de la Información Cuántica. La Teoría de la Información Cuántica se propone estudiar las nuevas formas de transmitir y procesar la información mediante la Mecánica Cuántica, y ya ha encontrado aplicaciones en la descripción del entrelazamiento en la física de muchos cuerpos. Sin embargo, está lejos de ser completa y todavía plantea problemas abiertos de diversas conexiones matemáticas, y uno de ellos, que tiene aplicaciones en la criptografía cuántica y la tomografía de estados cuánticos, es el problema de las Bases Mutuamente Insesgadas. El problema de las bases mutuamente insesgadas se refiere a la cantidad de bases mutuamente insesgadas (MUBs) que existen en un espacio de Hilbert dado. En esta tesis de licenciatura presentaremos algunos de los resultados conocidos, a saber, la generación de todas las MUBs cuando la dimensión d del espacio de Hilbert es prima. Para ello, utilizaremos un formalismo matemático diferente al habitual, la representación de Bloch, que permite una visión más geométrica del problema. Primero introduciremos la representación de Bloch discutiendo el caso d=2, y seguiremos presentando algunas de las estructuras geométricas más interesantes que surgen para cualquier dimensión. Finalmente, mostraremos una construcción de todos los MUBs cuando la dimensión es un primo impar. La tesis contendrá muchos ejemplos para suavizar las derivaciones matemáticas.