Stochastic processes for anomalous diffusion

Abstract

Con difusión anómala se hace referencia a procesos de difusión en los cuales el desplazamiento cuadrático medio (MSD) no es una función lineal de la variable tiempo (lo que se conoce como difusión normal). Cuando la relación es más rápida que lineal, se le llama superdifusión, y cuando es más lenta, subdifusión. Físicamente, el MSD es una medida de las desviación de la posición de las partículas con el tiempo. Se puede imaginar como la cantidad de espacio que las partículas han explorado en el sistema.La difusión anómala aparece constantemente en la naturaleza y por ello los científicos han desarrollado diferentes modelos que pueden reproducirla efectivamente. Sin embargo, la física subyacente de una gran cantidad de experimentos aun no se comprende correctamente. Este es el caso del movimiento de las moléculas de ARN mensajero dentro de bacterias E. coli, donde los más importantes procesos estocásticos fallan al intentar explicar todas sus características al mismo tiempo. Por ejemplo, el caminante aleatorio con tiempo continuo (CTRW) puede explicar la falta de ergodicidad pero no la variación-p. Por otro lado, el movimiento Browniano fraccionario (fBm) puede explicar su variación-p pero se trata de un proceso ergódico. Hemos analizado una clase de procesos estocásticos conocida como movimiento Browniano gris generalizado (ggBm) que además de reproducir difusión anómala, no es ergódico y tiene una variación-p como la del fBm, siendo por tanto un buen candidato para explicar el experimento citado anteriormente. Además, hemos incluído un factor con una dependencia temporal explícita para que sea un proceso no estacionario, característica que se suele denominar envejecimiento. De forma coincidente con los resultados computacionales, hemos podido encontrar expresiones matemáticas para muchos observables incluyendo el MSD promediado colectivamente y temporalmente, el parámetro de Rotura de la Ergodicidad, la función densidad de probabilidad en un punto y en un tiempo y la variación-p.Por otro lado, muchos experimentos muestran una transición característica de un régimen de difusión anómala a otro de difusión normal. Por ejemplo, esto ocurre en sistemas viscoelásticos como el movimiento de moléculas de lípidos en membranas bicapa de lípidos. La segunda parte de esta tesis está dedicada al estudio de procesos estocásticos que mediante una truncamiento de la función de autocorrelación del ruido o fuerza estocástica en la ecuación de Langevin sobredimensionada o la ecuación de Langevin fraccionaria sobredimensionada, se puede conseguir este tipo de transición. Esto ocurre cuando el truncamiento se hace de forma exponencial o mediante una ley de potencias suficientemente fuerte. Si la ley de potencias es débil, se obtienen transiciones de un régimen de rápida superdifusión a otra más lenta, y de un régimen de subdifusión lenta a otra más rápida, respectivamente. En esta parte también se consideran otros procesos en los que el truncamiento se realiza directamente sobre la definición del fBm original de Mandelbrot y Van Ness. Se conoce como movimiento Browniano fraccionario templado (tfBm) y, sorprendentemente, no tiene las mismas propiedades que los anteriores modelos. En su lugar, a tiempos largos presenta localización como el proceso de Ornstein-Uhlenbeck. Hemos comparado ambos procesos. Cuando la derivada del tfBm es usada en ecuación de Langevin fraccionaria, se obtiene difusión balística para tiempos largos.En la última parte estamos interesados en los últimos avances en teoría neutral espacial del campo de la Ecología, cuyos problemas resultan familiares a los expertos en Física Estadística. De hecho, los ecosistemas reproducen una organización espacial compleja que los ecólogos han intentando caracterizar observando los diferentes patrones de biodiversidad a distintas escalas espaciales. Relacionar estas medidas con las causas que las originan es probablemente el problema central de la Ecología. La teoría neutral de la Ecología, que subraya el papel de las fluctuaciones demográficas estocásticas y rechaza los efectos deterministas procedentes de diferencias adaptativas, ha predicho los patrones empíricos en comunidades de especies que compiten entre si. Hemos estudiado las leyes de escalado que surgen en la dimensión crítica (2D) de los modelos espaciales neutrales, los cuales no se comprenden del todo a día de hoy. Acabamos discutiendo algunos modelos con características no neutrales. bcam: basque center for applied mathematics