Frame presentations: variants of the reals, rings of functions, their Dedekind completions, and the unit circle

Abstract

Esta tesis se enmarca en el contexto de la topología sin puntos y explota el hecho de que se puedendefinir frames por medio de presentaciones de generadores y relaciones, dado que la categoría de frames,que es precisamente el objeto de estudio de la topología sin puntos, es algebraica. Abarca,principalmente, dos temas: la construcción y estudio de la compleción de Dedekind del anillo defunciones reales continuas C(L) definidas en un frame L y el estudio del equivalente sin puntos delcírculo unidad y su estructura de grupo.En el primer caso se construye dicha compleción de tres maneras alternativas: en términos de funcionesreales parciales, introduciendo para este fin el frame de los reales parciales como una variante del framede los reales; en términos de funciones semicontinuas normales; y en términos de funciones Hausdorffcontinuas. También se estudian los casos de los anillos de funciones continuas acotadas y funcionescontinuas con valores enteros y bajo qué condiciones existe un frame M tal que la compleción deDedekind de C(L) sea isomorfa a C(M). Por último, se introducen las nociones de escala generalizada yescala regular con objeto de demostrar que las alternativas construcciones del la compleción de Dedekindde C(L) pueden deducirse de un enfoque unificado.En cuanto al círculo unidad, se afronta el problema de dos maneras alternativas. La primera se basa enuna versión sin puntos de la compactificación de Alexandroff de la recta real y la segunda esta motivadaen la clásica construcción del círculo unidad como el espacio cociente R/Z. Este último enfoque nospermite elevar la estructura canónica de grupo locálico del frame de los reales a este nuevo frame,haciendo uso de técnicas categóricas.Por último, se estudian algunas variantes del frame de los reales y se proporciona el espectro de estos.