Groups acting on regular rooted trees: congruence subgroup problem and portrait growth

Abstract

Tesi honek zuhaitz errotu erregularren automorfismoen taldeen inguruko problema batzuk ebaztea du helburu. Talde hauek, Grigorchuk-en lehen taldea konkretuki, 80ko hamarkadan izan ziren lehenengoz definituak (ikus[26]), eta geroztik luze eta zabal ikertu da beraien inguruan. Talde hauek interesgarri izatearen arrazoi nagusia dauzkaten ezaugarri bitxiak direla esan genezake. Esate baterako, Grigorchuk-en lehen taldea Burnsideren problema orokorraren kontra adibide bat da, hau da, talde finituki sortua, periodikoa eta infinitua. Ordurako ezagunak ziren jadanik beste adibide konplexuago batzuk, baina talde hau definitzearen helburua hasiera batean Burnsideren problema orokorrarentzat adibide sinple bat ematea izan zen. Gerora, ordea,beste propietate berezi asko dauzkala frogatu ahal izan da. Horien artean garrantzitsuena, Milnor-en problemari ([32]) erantzuna eman ziona. Jakina zen ordurako bazirela taldeak hitzen hazkunde polinomiala eta exponentziala zeukatenak, baina erdibideko hazkundea zeukan talderik ba ote zen galdetu zuen Milnorrek. Erantzuna baiezkoa zen, eta Grigorchuk-en lehen taldea izan zen lehen adibidea ([21]). Geroztik hainbat problema ikertu dira talde hauekin erlazionatuta, eta hainbat orokorpen ezberdin eta talde berri definitu dira alor honetan.Zuhaitz errotu erregularrak, honela eraikitzen dira: Izan bedi X multzofinitu bat, d elementu dauzkana. Orduan X, hau da, multzoa alfabeto bezala131kontsideratuz osa daitezkeen hitz finituen multzoak osatzen du zuhaitzarenerpinen multzoa. Bi erpin u, v "X" ertz batez lotuta egongo dira baldineta u = vx edo v = ux bada x X baterako. Honela eraikitako zuhaitza T bidez adieraziko dugu, eta d-adikoa dela esango dugu X-k d elementu baldin badauzka.Izan bedi T zuhaitz d-adikoa. Zuhaitzaren automorfismo bat, erpinen arteko bijekzio bat da, zeinek ertzen loturak errespetatzen dituen. Automorfismo guztien multzoa Aut T bezala adieraziko dugu, eta konposaketarekiko talde bat osatzen du.Tesiaren 1. kapituluan zuhaitzen automorfismoen inguruko definizio garrantzitsuenak ematen dira. Adibidez, G Aut T self-similar edo (weakly)branch izatea zer den.Ondoren, talde hauekin erlazionatutako problema ezberdinak azaltzen dira. Batetik, congruence subgroup problem bezala ezagutzen dena. Problema honek talde infinituen indize finituko azpitaldeak hobeto ezagutzea du helburu. Hasiera batean talde aljebraikoentzako planteatu zen, hain zuzen ere SLn(Z) taldeentzako. Problemak, nolabait esateko, galdetzen du ea indize finituko azpitalde guztiak ezagutzeko nahikoa den azpitalde finituen familia konkretu bat ezagutzea. Edo beste era batera esanda, ea indize finituko azpitalde guztiek eta familia konkretu horrek topologia bera definitzen duten taldean. Lehen aipatutako SLn(Z) taldeen kasuan, familia hori {ker(m :SLn(Z) SLn(Z/mZ))}m N da, eta hortik datorkio congruence izena. Beraz,bi topologiak berdinak diren kasuan, taldeak congruence subgroup property duela esaten da.Zuhaitzen automorfismoen taldeentzat problemaren analogoa planteatzerako orduan, familia berezi bezala maila bakoitzeko estabilizatzaileak hartzen ditugu kontuan; hau da, stG(n) da n luzerako erpinak finko uzten dituzten automorfismoek osatzen duten azpitaldea. Beraz, galdera litzateke ea G ¿Aut T-ren indize finituko azpitaldeek eta estabilizatzaileek topologia bera definitzen duten G-n.Planteatzen den bigarren problemak talde bateko elementuen deskribapenarekin du zerikusia. Zuhaitz d-adiko baten automorfismo bakoitza erpin bakoitzari permutazio bat esleituta deskriba daiteke, non permutazio horrek adierazten duen nola mugitzen dituen automorfismoak erpin horretatik zintzilik dauden d erpinak. Gainera, taldea self-similar den kasuetan, dekorazio hori puntu batean amai daiteke, permutazio baten ordez talde bereko automorfismo bat jarriz. Horrek adieraziko luke erpin horretatik behera elementuak egiten duen ekintza automorfismo horrek zuhaitz osoan egiten duenek intzarekin deskriba daitekeela. Kontua da era honetan ez dagoela garbinoiz amaitu behar dugun dekorazioa eta noiz jarraitu. Horregatik, taldea contracting deritzona izatea garrantzizkoa da. Izan ere, kasu horretan elementu multzo finitu bat existitzen da, nukleo deritzona, non edozein elementuren dekorazioan puntu batetik aurrera nukleo horretako elementuetan erortzen garen. Orduan elementu bakoitza gisa horretan dekoratuta, hau da,nukleoko elementu batekin topo egiterakoan gelditu ezkero, elementuaren sakonerari (depth) buruz hitz egin dezakegu. Elementu baten sakonera litzateke elementuaren dekorazioan errotik hasita dagoen bide luzeenaren luzera.Behin elementu bakoitzari sakonera bat esleituta, galdera naturala da zeinden sakoneraren hazkundea, portrait growth bezala ezagutzen dena. Galdera hau Grigorchuk-ek egin zuen [18] artikuluan Grigorchuk-en lehen taldeari buruz.Lehen kapituluarekin bukatzeko tesian zehar agertuko diren talde ezberdinen definizioa ematen da: Grigorchuk-en lehen taldea, GGS-taldeen familia,Hanoi-ren dorreen taldea eta Apollonian taldea eta Basilica taldea. Talde133 bakoitzaren definizioaz gain ezagunak diren zenbait propietate garrantzitsu aipatzen dira, baita gerora beharrezkoak izango diren batzuk enuntziatu eta frogatu ere.Bigarren kapituluan literaturan nahasmena sortu duen kontzeptu bat argitzendugu. Zuhaitzen automorfismoen talde bat fractal dela esaten da baldin eta erpin bakoitzean talde osoaren ekintza berreskura badaiteke, nolabait esateko. Zenbait artikulutan esaten zen hori eta lehen mailako estabilizatzailearen erpin bakoitzeko proiekzioa supraiektiboa izatea baliokideak zirela. Egia da bigarrenak lehena inplikatzen duena, baina alderantzizkoa ez da egia. Beste zenbait artikulutan bereizketa egina zegoen eta gogorragoaden baldintza honi strongly fractal esaten zitzaion. Edozein kasutan, inon ez zen adibiderik ematen fractal izan eta strongly fractal ez zenarena. Gukbi adibide eraikitzen ditugu. Bestalde, talde bat fractal izan dadin, nahikoa da lehen mailako erpinetan fractal izateko baldintza batetzen badu. Artikulubatean esaten zen strongly fractal-ekin ere gauza bera gertatzen zela.Adibideak emanez ikusten dugu ez dela horrela, eta beraz hirugarren honi,hau da, lehen mailan bakarrik ez, maila denetan strongly fractal izateko baldintzabetetzeari super strongly fractal izena eman diogu. Adibideak emanez erakusten dugu bi propietate hauek ere ez direla baliokideak. Emaitza hauek[37] artikuluan publikatuak izan dira.Hirugarren kapituluan aurrerago aipatutako congruence subgroup problem aztertzen dugu GGS-taldeen familiarentzat. Talde hauek zuhaitz p-adikoaren automorfismoen taldeak dira p zenbaki lehen bakoitia izanik. Bi elementuk sortzen dituzte eta elementuetako bat bektore baten arabera definitzen da.Honela, bektore bakoitzak talde bat definitzen du. Aldez aurretik jakinazen ([33]), talde hauek periodikoak diren kasuan badaukatela congruencesubgroup property. Hau da, indize finituko azpitaldeek eta estabilizatzaileek topologia bera definitzen dutela taldean. Kontua da, talde hauek periodikoak direla baldin eta soilik baldin definizio bektorearen osagaien batura zero badaFp-n (ikus [38]). Guk kasu guztietarako ematen dugu erantzuna. Hasteko,frogatzen dugu G taldea bektore ez-konstante batek definituriko GGS-taldea bada, orduan congruence subgroup property daukala.Emaitza honi esker, Barnea-k egindako galdera bat erantzuteko gai izan gara (ikus [2]). Izan ere, galdetzen zuen ea existitzen ziren finituki sortuak,erresidualki finituak, ez periodikoak ziren talde infinituak zeintzuen konplezio profinitua pro-p taldea zen. GGS-taldeetako asko ez direnez periodikoak eta Aut T-ren Sylow-en pro-p talde batean bizi direnez, Barnea-ren galderarako adibideak direla frogatzen du aurreko emaitzak. Gainera, Barnea-k bigarrengaldera bat egiten du, ez periodiko beharrean tortsio-askeak (torsion-free)izateko eskatuz. Talde hauetako batzuk birtualki tortsio-askeak direla frogatzen dugu, eta beraz bigarren galderari ere erantzuna ematen diogu.Bektore konstante bidez definituriko GGS-taldearen kasua (G bidez adieraziduguna tesi osoan zehar) erabat ezberdina da. Izan ere konplezio profinitutik estabilizatzaileekiko konpleziora dagoen epimorfismo naturalak isomorfismo izan behar luke congruence subgroup property izateko. Bestela esanda,epimorfismo horren nukleoa, congruence kernel deiturikoa, tribiala izan beharda. Guk frogatzen dugu G-ren kasuan nukleo hau infinitua dela, eta beraz, ez daukala congruence subgroup property.Hau gertatzearen arrazoia da, G taldeak indize finituko azpitalde batduela zein Z-ra proiektatzen den. Beraz, G-n existitzen dira indizea p-ren berretura ez duten indize finituko azpitaldeak. Nola estabilizatzaile denen indizea p-ren berretura den, horrek zuzenean garamatza bi topologiak ezin daitezkeela berdinak izan ondorioztatzera. Beraz, galdera naturala da, indizefinituko azpitalde guztiak hartu ordez, indizea p-ren berretura duten azpitalde normalak kontsideratuz gero, ea orduan bat datozen estabilizatzaileen topologia eta azken hau. Hori da hain zuzen ere laugarren kapituluaren motibazioa. Aurretik aipatutako emaitzak, [14] artikuluan bilduta daude.Bukatzeko, kapitulu berean, GGS-taldeen orokorpena diren multi-GGStaldeentzako ere orokortzen ditugu aurreko bi emaitzak. Talde hauek, sortzaile berriak gehituz eraikitzen dira. Hala, sortzaile bakoitza bektore ezberdinbatek definitzen du. Kasu honetan beraz, emaitza da G ez den edozein multi-GGS taldek baduela congruence subgroup property. Hemen aurki daiteke aipatutako emaitza: [17].Laugarren kapituluan congruence subgroup problem-aren orokorpen bat planteatzen dugu. Aldez aurretik esan gisan, kasu batzuetan beste topologia batzuk egokiagoak izan daitezke estabilizatzaileenarekin konparatzerako garaian.Izan bedi C talde finituen pseudo-barietate bat. Hau da, talde finituenmultzo bat, itxia dena azpitaldeekiko, zatidurekiko eta biderketa kartesiarfinituekiko. Orduan, oro har G talde infinitu bat izanik, NC = {N ¿ G |G/N ¿ G}-k topologia bat definitzen du G-n, pro-C topologia deritzona.Baldin eta G zuhaitz errotu erregular baten automorfismoen taldea bada,eta G/ stG(n) ¿ C betetzen bada n ¿ N guztietarako, orduan estabilizatzaileen topologia konparagarria da pro-C topologiarekin. Bi topologiak bat datozeneanesango dugu G-k C-congruence subgroup property daukala (C-CSPlaburtuta).Kapitulu berean, problema definitzeaz gain, weakly regular branch diren zuhaitzen automorfismoen taldeentzako baldintza nahikoa den bat ematen dugu C-CSP izan dezaten.Baldintza hori baliatuz frogatzen dugu G-k baduela p-CSP, eta baitaBasilica taldeak 2-CSP duela ere bai. Nahiz eta gu p-talde finituen barietateekin baino ez garen aritzen, aipagarria da baldintzak orokorrean balio duela,eta beraz, interesgarria litzateke adibideak topatzea zeintzuentzat talde nilpotente finituen edo ebazgarri finituen pseudo-barietateentzako betetzenden propietatea, adibidez. Emaitza hauek [16] artikuluan daude jasota.Bukatzeko, bostgarren eta azken kapituluan lehenago aipatutako portraitgrowth-aren problemaz arduratzen gara. Hasteko, regular branch direntaldeentzako bide bat ematen dugu ekuazio errekurtsibo batzuk eskuratuahal izateko. Horrela, n sakonera duten elementuen kopurua kalkulatzeko gaitasuna izango dugu n 1 sakonera dutenen kopurua ezagututa.Ondoren Grigorchuk-en lehen taldea, bektore ez-simetrikoek definitutako GGS-taldeak eta Apollonian taldearentzat kalkulatu egiten ditugu aipatutako ekuazioak. Hiru kasuetan, teknika ezberdinak erabiliz, gai gara frogatzeko hazkundea exponentzial bikoitza dela. Gure konjetura da gauza bera beteko dela edozein regular branch eta contracting den taldetan, baina momentuz ez gara frogatzeko gai izan. Emaitza hauek [35] artikuluan topa daitezke