Geodésicas en superficies: propiedades minimizadoras y completitud.

Abstract

[ES] Este trabajo fin de grado estudia las geodésicas en superficies regulares, sus propiedades minimizantes y la completitud de estas superficies. De esta forma completaremos lo que nos mencionaron en la asignatura de segundo Curvas y Superficies y lo que no llegamos a dar en la asignatura de Geometría Global de Curvas y Superficies de tercero del Grado de Matemáticas de la UPV/EHU. La idea del trabajo consiste en abordar varios problemas fundamentales en el estudio de las geodésicas de una superficie como son la existencia; las propiedades minimizantes de la longitud de las geodésicas; la existencia de geodésicas mínimas y unicidad de las mismas (Teorema de Hopf-Rinow); y las superficies geodésicas completas y superficies completas como espacios métricos. También, se ilustrará la importancia de las técnicas anteriores estudiando varias de sus aplicaciones, y, asimismo, se tratará con detalle un buen número de ejemplos y ejercicios. Para ello vamos a empezar recordando las definiciones y teoremas básicos que nos enseñaron en segundo. Esta teoría est´a dada principalmente cuando trabajamos con curvas de longitud de arco, por lo tanto, generalizaremos los conceptos para cuando tengamos una parametrización cualquiera y nos daremos cuenta de que la ecuación general de las geodésicas coincide con la expresión obtenida de la curvatura geodésica de la misma. Asimismo, como hemos mencionado antes, demostraremos la existencia y unicidad de las geodésicas, y haremos un estudio más profundo sobre las geodésicas en superficies de revolución. Todo esto lo completaremos con un par de ejemplos y ejercicios teóricos que generalizaran teoremas previamente demostrados, como por ejemplo el Teorema de Clairaut, que se aplica a superficies de revolución, pero nosotros lo generalizaremos a las superficies de Liouville. Todos estos ejercicios los encontraremos en el apéndice A. Además, incluiremos un par de ejercicios de estas superficies como ejemplo. En cuanto al segundo capítulo, nos centraremos en estudiar las propiedades minimizantes de las geodésicas, introduciremos la definición de la aplicación exponencial ya conocida, y añadiremos algunas de sus propiedades. Haciendo uso de esto, definiremos nuevos conceptos como el radio de inyectividad, círculos geodésicos, bolas geodésicas... y enunciaremos y demostraremos varios teoremas y proposiciones relacionados con estos nuevos conceptos. Veremos que en todo punto de la superficie existe un entorno especial llamado entorno uniformemente normal, en el que todos los puntos admiten una bola geodésica del mismo radio. También demostraremos que, dados dos puntos cualesquiera de una superficie, si existe una curva de longitud mínima que los una, esa curva será una geodésica. Para finalizar, daremos paso al teorema de Hopf-Rinow y al estudio de la completitud, donde definiremos este ´ultimo concepto desde el punto de vista de las geodésicas, haciendo uso de la aplicación exponencial. También añadiremos la definición de la distancia intrínseca y veremos que la topología que crea en la superficie, y la que ya estaba en ella son la misma. Después daremos paso al teorema básico de Hopf-Rinow, el cual nos asegura la existencia de una curva mínima que une cualesquiera dos puntos de una superficie completa, y acabaremos con varios corolarios y proposiciones que derivan de esta.