Generalized Poincaré-Sobolev inequalities

Abstract

Las desigualdades de Poincaré-Sobolev son herramientas muy potentes en análisis matemático que han sido ampliamente utilizadas para el estudio de ecuaciones diferenciales y su validez está íntimamente relacionada con la geometría del espacio ambiente. En particular, dada su aplicabilidad como parte del método de iteración de Moser, sus versiones con pesos resultan de interés para aplicaciones. El objetivo de esta tesis es presentar un estudio autocontenido de las desigualdades de Poincaré- Sobolev, la teoría de pesos y la combinación de ambas en el marco de la teoría abstracta de automejora de desigualdades de Poincaré-Sobolev generalizadas. Con este fin, se introducen los aspectos básicos de la teoría de las desigualdades de Poicaré-Sobolev y de la teoría de pesos de Muckenhoupt. En relación con estos, se estudia la clase de las funciones con oscilaciones medias acotadas, junto con una caracterización de estas por medio de algunos resultados de acotación para conmutadores de integrales fraccionarias. Se utilizan nuevas técnicas de automejora para llevar a cabo un estudio unificado de las desigualdades de Poincaré-Sobolev clásicas y fraccionarias con pesos, además de un estudio de los pesos de Muckenhoupt en relación con las funciones con oscilaciones medias acotadas.