Structural properties of hierarchically hyperbolic groups

Abstract

Los temas de esta tesis se enmarcan en el área de la teoría geométrica de grupos, que es el estudio de grupos finitamente generados a través de la exploración de sus aspectos geométricos y topológicos. Más precisamente, nos centramos en una clase de grupos denominados grupos jerárquicamente hiperbólicos.La hiperbolicidad jerárquica es una noción muy reciente pero poderosa cuyo objetivo es proporcionar un marco unificador para estudiar grandes clases de grupos que tienen características similares a curvatura negativa y no positiva.Los primeros resultados originales de esta tesis aparecen en el capítulo segundo, donde se prueban una serie de resultados estructurales de naturaleza técnica. Se presentan allí dos nociones: intersection ÁREA LÍNEA1 2 0 1 0 6 ÁREA LÍNEA ÁREA LÍNEA ÁREA LÍNEA property y concreteness. Estas condiciones se utilizan en varios lugares a lo largo del resto de la tesis y son cruciales para comprender los principales resultados que siguen.El primer resultado principal de la tesis es el establecimiento de un teorema de combinación para la clase de grupos jerárquicamente hiperbólicos. Por lo general, nos referimos a un resultado como un teorema de combinación en una clase de grupos C si responde a la siguiente pregunta: Sea G un grupo que actúa sobre un árbol simplicial T cuyos estabilizadores de vértices y aristas pertenecen a C, ¿bajo qué condiciones podemos concluir que el grupo C está en C? En nuestro caso, las condiciones queidentificamos son intersection property y clean containers. Como aplicación de este teorema obtenemos que los productos bajo grafos de grupos jerárquicamente hiperbólicos con intersection property y clean containers son en sí mismos jerárquicamente hiperbólicos.En el último capítulo de la tesis nos centramos en la clase de grupos que actúan sobre un árbol simplicial de manera que los estabilizadores de aristas son virtualmente cíclicos. Llamamos a esta clase grupos hyperbolic-2-decomposable. El principal resultado de éste último capítulo es una caracterización de grupos de este tipo que nos permiten aportar una estructura hiperbólica jerárquica sobre ellos. Má sprecisamente, obtenemos que un grupo hyperbolic-2-decomposable es jerárquicamente hiperbólico si y solo si es equilibrado. Más aún, mostramos que esto es equivalente a que el grupo en sí no contenga subgrupos de tipo Baumslag-Solitar no equilibrados. Como corolario inmediato obtenemos que los productos libres amalgamados de grupos hiperbólicos sobre grupos virtualmente cíclicos son jerárquicamente hiperbólicos.