Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales rígidas. Aplicación a la semidiscretización del método de elementos finitos

Abstract

La semidiscretización del Método de Elementos Finitos (MEF) de los problemas de difusión y onda conduce a sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDOs) fuertemente rígidos que pueden integrarse con las funciones de la odesuite de Matlab. Sin embargo, como la función ode15s que ofrece Matlab para sistemas rígidos se muestra poco eficiente en los problemas vibratorios, hemos profundizado en los métodos BDF que la sustentan hasta comprender los motivos y proponer alternativas. Ello nos ha llevado a trabajar en dos direcciones. Por una parte, en la ampliación de las regiones de estabilidad utilizando puntos super-futuros, lo que nos ha conducido a métodos de orden 4 incondicionalmente estables. Y por otra, en la ponderación de los métodos clásicos de la mecánica computacional que abordan directamente la resolución de EDOs de orden 2 y conducen a métodos incondicionalmente estables de orden de precisión 2, con control paramétrico del amortiguamiento algorítmico y que permiten la disipación de los modos de alta frecuencia que están mal definidos por la semidiscretización MEF y sólo aportan ruido a la solución. En este sentido, hemos podido incorporar al BDF de orden 2, el control paramétrico del amortiguamiento de las frecuencias de manera similar a como lo hace el método HHT-alfa. Estos desarrollos los hemos hecho en una metodología orientada a objeto en Matlab con el fin de disponer de una herramienta de laboratorio que facilite la experimentación y la incorporación de nuevos desarrollos sin necesidad de alterar los anteriores.