Closed G2 forms and special metrics

Abstract

En esta tesis se aborda el estudio y construcción de variedades G2 calibradas. Una tal variedad es una variedad de Riemann, de dimensión 7, con una métrica de Riemann definida por una cierta 3-forma diferencial, denominada G2 forma, la cual no sólo es invariante por la acción del grupo excepcional G2 sino que también es cerrada y, por lo tanto, define una calibración en el sentido de Harvey y Lawson. Los dos primeros capítulos de esta memoria se dedican a la construcción de nuevos ejemplos de esas variedades, tanto en el caso compacto como no-compacto. En particular, mostramos que el mapping torus de un difeomorfismo de una variedad half-flat simpléctica, tal que la estructura half-flat es preservada por el difeomorfismo, es una variedad G2 calibrada. En los capítulos 3 y 4 estudiamos la existencia de métricas especiales (Einstein y Ricci solitones) determinadas por G2 formas cerradas. Por una parte, sabemos que el comportamiento del tensor de Ricci de la métrica inducida por una G2 forma está estrechamente relacionado con el comportamiento de la propia G2 forma. En particular, Cleyton e Ivanov probaron que ninguna variedad compacta, de dimensión 7, admite una estructura G2 calibrada tal que la métrica inducida sea Einstein, salvo que la G2 forma sea también cocerrada y, por lo tanto, el grupo de holonomía de la métrica es un subgrupo de G2. En el capítulo 3 exploramos la versión no compacta de este resultado, obteniendo un resultado equivalente para variedades (no compactas) resolubles.En el último capítulo, determinamos las nilvariedades compactas que poseen una G2 forma calibrada induciendo un nilsolitón. Para cada una de esas variedades, estudiamos el flujo Laplaciano, y mostramos los primeros ejemplos compactos tales que la solución del flujo Laplaciano está definida en un intervalo no acotado.