Cohomology of uniserial p-adic space groups and Carlson's conjecture

Abstract

Sea p un número primo y sea F_p el cuerpo finito de p elementos. Sea G un p-grupo de orden p^n y clase de nilpotencia m. Entonces, la coclase de G es c=n-m. En 2005, J.F. Carlson, demuestra que sólo hay un número finito de tipos de isomorfía de álgebras de cohomología con coeficientes en F_2 para todos los 2-grupos de coclase fija c. Además, conjetura que el análogo de este resultado es cierto para el caso p impar. Para demostrar su resultado, J.F. Carlson, utiliza los `teoremas de estructura¿ de Leedham-Green donde los p-grupos finitos están clasificados mediante sus coclases. Más concretamente, Leedham-Green demuestra que para casi todos los p-grupos de coclase fija c, existen un subgrupo normal N y una función f(p,c) tales que |N| está acotado por f(p,c) y G/N es constructible. Decímos que los grupos constructibles son de dos tipos: twist o no twist. En el primer caso, decimos que el p-grupo es twist y en segundo, no twist.En esta tesis, demostramos la conjectura de Carlson para los p-grupos no twist, es decir, demostramos que sólo hay un número finito de álgebras de cohomología sobre F_p para todos los p-grupos de coclase fijada. Para ello, realizamos el isomorfismo abstracto de álgebras de cohomología de p-grupos abelianos de rango fijo a nivel de complejos de cocadenas y estudiamos la cohomología de extensiones de grupos que escinden sobre un p-grupo abeliano de rango fijo. Más concretamente, estudiamos la cohomología de productos semi-directos de p-grupos abelianos de rango fijo donde actúa un p-grupo finito. De hecho, demostramos que todos los cocientes del único pro-p grupo de clase maximal tienen grupos cohomologías isomorfos.