Geometric Harmonic Analysis. Cp weights, John Nirenberg estimates and Hajlasz capacity density conditions

Abstract

En esta tesis, se desarrollan varios temas dentro del análisis armónico. El primer tema tiene que ver conlos pesos de clase Cp. Por un lado, estudiamos propiedades intrínsecas de estos pesos, como ladesigualdad débil de tipo Hölder inversa, para la que encontramos un exponente óptimo. Entre otraspropiedades que estudiamos se encuentra la falta de automejora propia de otras clases de pesos. Por otrolado, estudiamos desigualdades en norma para operadores de diferente clase en espacios de medida Cp.Para ello introducimos una manera de cuantificar estas desiguadades en términos del peso Cp.El segundo tema está relacionado con espacios de tipo BMO. Demostramos diversas extensiones delteorema de John-Nirenberg, lo que constituye una mejora de la teoría clásica de estos espacios.Asimismo, damos un resultado de automejora que permite relajar la condición BMO a otras condicionesintregrales más suaves en términos de integrabilidad de Orlicz, y esto lo hacemos no sólo en el espacioeuclídeo sino en otros contextos geométricos más generales.El tercer y último tema general tiene que ver con capacidades de Hajlasz. Introducimos este conceptonuevo en términos de gradientes de Hajlasz, que se comportan como derivadas fraccionarias globales.Demostramos que la condición de densidad de capacidad de Hajlasz introducida es automejorable porpartida doble, en el orden de derivación y en el orden de integrabilidad. El contexto geométrico en el quetrabajamos es el de espacios métricos generales con medidas doblantes, pero necesitamos restricciones deconectividad para que se cumplan las condiciones. Condiciones similares eran conocidas en el espacioeuclídeo pero desconocidas en espacios métricos generales.